Question

3．一個自然數(shù)（即非負(fù)整數(shù)）若能表示成兩個自然數(shù)的平方差，則稱這個自然數(shù)為“好數(shù)”．例如，16=5²-3²就是一個“好數(shù)”．
（1）2014是不是“好數(shù)”？說明理由．
（2）從小到大排列，第2014個“好數(shù)”是哪個自然數(shù)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出是好數(shù)，要么是奇數(shù)要么能被4整除，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出從小到大的“好數(shù)”為：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…，進(jìn)而求出第2014個“好數(shù)”．

解答 解：（1）2014不是“好數(shù)”．如果2014是“好數(shù)”，不妨設(shè)2014=m²-n²（m，n為自然數(shù)），
則（m+n）（m-n）=2×1007，而m+n，m-n的奇、偶性相同，即（m+n）（m-n），要么是奇數(shù)要么能被4整除．
所以2014不是“好數(shù)”．

（2）設(shè)k為自然數(shù)，由（1）類似可得如4k+2的自然數(shù)都不是“好數(shù)”，
（k+1）²-（k-1）²=4k，（k+1）²-k²=2k+1，
故4k，2k+1的自然數(shù)都是“好數(shù)”，
所以從小到大的“好數(shù)”為：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…
所以第n個“好數(shù)”為：n-1+[$\frac{n}{3}$]，
所以第2014個“好數(shù)”為2684．

點評 此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)題意正確判斷好數(shù)是解題關(guān)鍵．