Question

12．在等腰三角形中，建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的正對(duì)（符號(hào)為sad）．如圖1，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA=底邊÷腰=$\frac{BC}{AB}$．容易知道一個(gè)角的大小，與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解決下列問(wèn)題：
（1）計(jì)算：sad60°=1；sad90°=$\sqrt{2}$；sad120°=$\sqrt{3}$；
（2）對(duì)于0°＜A＜180°，則∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是0＜sadA＜2；
（3）如圖2在直角三角形ABC中AC⊥BC，已知sinA=$\frac{3}{5}$，試求sadA的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A=60°，三角形為等邊三角形，底邊與腰相等；當(dāng)A=90°，三角形為等腰直角三角形，底邊是腰的$\sqrt{2}$倍；當(dāng)A=120°，作底邊上的高，底角為30°，易求得底邊是腰的$\sqrt{3}$倍，然后根據(jù)等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）即可得到答案；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）過(guò)B作BD⊥AC于D，設(shè)BD=3x，AB=5x，利用勾股定理計(jì)算出AD=4x，則DC=x，在Rt△BDC中根據(jù)勾股定理求出BC，然后根據(jù)頂角的正對(duì)定義求值即可．

解答 解：（1）如圖1，圖2，根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=$\frac{1}{1}$=1；
根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為90°時(shí)，等腰三角形底角為45°，
則三角形為等腰直角三角形，
則sad90°=$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{2}$；
根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為120°時(shí)，作底邊上的高，底角為30°，底邊是腰的$\sqrt{3}$倍，
則sad120°=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$；
故答案為：1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$；

（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadA接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為：0＜sadA＜2．

（3）過(guò)B作BD⊥AC于D，如圖3，
∴sinA=$\frac{3}{5}$=$\frac{BD}{AB}$，
設(shè)BD=3x，AB=5x，由勾股定理得AD=4x，
∴DC=5x-4x=x，
在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴sadA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}x}{5x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形：利用三角函數(shù)的定義和勾股定理求出三角形中未知的角和邊．理解頂角的正對(duì)的定義是解題的關(guān)鍵．