Question

2．如圖，一艘船以每小時24海里的速度向北偏西75°方向航行，在點A燈處測得燈塔P在船的西北方向，航行40分鐘后到達點B處，這時燈塔P恰好在船的正北方向，已知距離燈塔9海里以外的海區(qū)為安全航行區(qū)域．問：這艘船能否按原方向繼續(xù)向前航行？為什么？

Answer 1

分析 延長PB交AN于G，作PH⊥AB延長線于H，根據(jù)題意知∠PAG=45°、∠PAH=30°，設PH=x，表示出AG、AB、PB的長，由△PBH∽△ABG得$\frac{PB}{AB}=\frac{PH}{AG}$，從而求出x的值比較即可．

解答 解：如圖，延長PB交AN于G，作PH⊥AB延長線于H，

由題意知∠PAM=45°，∠BAM=75°，AM⊥AN，PB∥AM，
∴PG⊥AN，∠PAG=45°，∠GAH=15°，
∴∠PAH=30°，
∴AP=2PH，PG=AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
設PH=x，則AP=2x，PG=AG=$\sqrt{2}$x，
由題意知，AB=$\frac{24}{60}$×40=16，
∴BG=$\sqrt{1{6}^{2}-{x}^{2}}$，PB=PG-BG=x-$\sqrt{1{6}^{2}-{x}^{2}}$，
∵∠PHB=∠AGH=90°，∠PBH=∠ABG，
∴△PBH∽△ABG，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PH}{AG}$，即$\frac{x-\sqrt{1{6}^{2}-{x}^{2}}}{16}$=$\frac{x}{\sqrt{2}x}$，
整理，得：${x}^{2}-8\sqrt{2}x-64=0$，
解得：x=4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$或x=4$\sqrt{2}$-4$\sqrt{6}$（舍），
∴PH=4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$≈15.5＞9，
故船可以按原方向繼續(xù)航行．

點評 本題主要考查解直角三角形的實際應用，構建直角三角形表示出各邊長度是解題的前提，由相似三角形的性質求得線段的長是關鍵．