Question

9．已知：關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（其中m為實(shí)數(shù)）．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求證：無(wú)論m取何值，拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過(guò)x軸上的一個(gè)固定點(diǎn)，并求出當(dāng)這個(gè)固定點(diǎn)和拋物線與x軸另一交點(diǎn)之間的距離等于2時(shí)的m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意b²-4ac＞0，列出不等式，解不等式即可；
（2）令y=0即可確定出拋物線過(guò)x軸上的固定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 （1）解：根據(jù)題意，得△=（m-2）²-4×（m-1）×（-1）＞0，即m²＞0，
解得m＞0或m＜0①，
又∵m-1≠0，
∴m≠1②，
由①②，得m＜0，0＜m＜1或m＞1；

（2）證明：由y=（m-1）x²+（m-2）x-1，得y=[（m-1）x-1]（x+1），
拋物線y=[（m-1）x-1]（x+1）與x軸的交點(diǎn)就是方程[（m-1）x-1]（x+1）=0的兩根，
解得x=-1或$\frac{1}{m-1}$，
∴無(wú)論m取何值，拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過(guò)x軸上的一個(gè)固定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及根的判別式，在解一元二次方程的根時(shí)，利用根的判別式△=b²-4ac與0的關(guān)系來(lái)判斷該方程的根的情況；熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．