Question

10．如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O，交AB于點(diǎn)D，連接CD，OD，已知∠A+$\frac{1}{2}$∠1=90°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠B=30°，AD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得到∠1=2∠B，則利用∠A+$\frac{1}{2}$∠1=90°和三角形內(nèi)角和得到∠ACB=90°，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷AC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中利用互余得到∠A=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ACD中可計(jì)算出AC=2AD=8，在Rt△ABC中可計(jì)算出BC=$\sqrt{3}$AC=8$\sqrt{3}$，從而得到⊙O的半徑．

解答 （1）證明：∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠1=∠B+∠ODB=2∠B，
∵∠A+$\frac{1}{2}$∠1=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，AC=2AD=8，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{3}$AC=8$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半徑為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．