Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，∠D=45°，CD的垂直平分線交CD于E，交AD于F，交BC的延長線于G，若AD=a．
（1）求證：四邊形ABCF是正方形；
（2）求BG的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠B=∠A=∠AFC=90°，判定四邊形ABCF是矩形，再根據(jù)AB=BC，即可得到四邊形ABCF是正方形；
（2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG=FD，再根據(jù)正方形ABCF中，BC=AF，即可得到AF+FD=BC+CG，即AD=BG=a．

解答 解：（1）∵CD的垂直平分線交CD于E，交AD于F，
∴FC=FD，
∴∠D=∠FCD=45°，
∴∠CFD=90°，即∠AFC=90°，
又∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∴四邊形ABCF是矩形，
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCF是正方形；

（2）∵FG垂直平分CD，
∴CE=DE，∠CEG=∠DEF=90°，
∵BG∥AD，
∴∠G=∠EFD，
在△CEG和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠EFD}\\{∠CEG=∠DEF}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DEF（AAS），
∴CG=FD，
又∵正方形ABCF中，BC=AF，
∴AF+FD=BC+CG，
∴AD=BG=a．

點評 本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．