Question

5．如圖，將長方形ABCD沿直線AE折疊，點B落在點B′處，已知BC=8，AB=6，若△B′EC為直角三角形，則BE的長為3或6或$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 討論：當(dāng)∠B′EC=90°時，易得四邊形ABEB′為正方形，此時BE=AB=6；當(dāng)∠B′CE=90°時，點B′與點D重合，設(shè)折痕為EF，EF與BD相交于點O，如圖1，通過證明Rt△BOE∽Rt△BCD，利用相似比可計算出BE=$\frac{25}{3}$；
當(dāng)∠EB′C=90°時，連結(jié)CB′，如圖2，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得AB′=AB=6，BE=BE′，∠AB′E=∠B=90°，而∠CB′E=90°，于是可判斷點A、B′、C共線，即點B′在AC上，再根據(jù)勾股定理計算出AC=10，則CB′=AC-AB′=4，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CB′E中，根據(jù)勾股定理得到x²+4²=（8-x）²，再解方程求出x即可．

解答 解：當(dāng)∠B′EC=90°時，則四邊形ABEB′為正方形，此時BE=AB=6；
當(dāng)∠B′CE=90°時，點B′與點D重合，設(shè)折痕為EF，EF與BD相交于點O，如圖1，
∵BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=5，
∵∠OBE=∠CBD，
∴Rt△BOE∽Rt△BCD，
∴BE：BD=BO：BC，即BE：10=5：6，
∴BE=$\frac{25}{3}$；
當(dāng)∠EB′C=90°時，連結(jié)CB′，如圖2，
∵長方形ABCD沿直線AE折疊，點B落在點B′處，
∴AB′=AB=6，BE=BE′，∠AB′E=∠B=90°，
∵∠CB′E=90°，
∴點A、B′、C共線，即點B′在AC上，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CB′=AC-AB′=10-6=4，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=8-x，
在Rt△CB′E中，∵EB′²+CB′²=EC²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=5，
即BE的長為3．
綜上所述，BE的長為3或6或$\frac{25}{3}$．
故答案為3或6或$\frac{25}{3}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理和分類討論的思想．．