Question

如圖：∠ACB=60°，CE平分∠ACB，O為射線CE上的一點，⊙O切AC于點D
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為6，P為⊙O上一點，且使得∠DPC=90°，求DP的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）過O作OM⊥BC，交BC于點M，由條件證明△DCO≌△MCO，可得OM=OD，可得BC為切線；
（2）在△COD中，可求得CD，取CD的中點為N，連接PN，ON，交DP于點Q，結(jié)合條件可證得NP為切線，則可知Q為DP中點，在Rt△NOD中可求得NO，再利用面積相等可求得DQ，從而可求得DP．

解答：（1）證明：如圖1，過O作OM⊥BC交點M，

在△DCO和△MCO中，

∠DCO=∠MCO ∠CDO=∠CMO CO=CO

，
∴△DCO≌△MCO（AAS），
∴OM=OD，且CD為切線，
∴OD等于圓的半徑，
∴O點到BC的距離等于半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，取CD的中點為N，連接PN，ON，交DP于點Q，

∵∠DPC=90°，
∴PN=ND，且OD=OP，
∴NO垂直平分DP，
在Rt△COD中，OD=6，∠DCO=60°，
∴CD=6

3

，則ND=3

3

，
在Rt△ODN中，由勾股定理可求得ON=3

7

，
由面積相等可得ND•OD=NO•DQ，
即3

3

×6=3

7

•DQ，
解得DQ=

6 21

7

，
∴DP=2DQ=

12 21

7

．

點評：本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，掌握作出距離證明距離等于半徑也是證明切線的方法是解題的關(guān)鍵，在第（2）中取CD的中點，得到NO是DP的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．