Question

19．己知⊙O的半徑為R，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長為R，邊心距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，⊙O的內(nèi)接正方形的邊長為$\sqrt{2}$R，⊙O的內(nèi)接正三角形的邊長為$\sqrt{3}$R，邊心距為$\frac{1}{2}$R．

Answer 1

分析 AB為⊙O的內(nèi)接正六邊形的一條邊，連接OA、OB，作OM⊥AB于M，則∠AOB=60°，證明△AOB是等邊三角形，得出AB=OA=r，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，由勾股定理求出OM即可；
BC為⊙O的內(nèi)接正方形的一條邊，連接OB、OC，作ON⊥BC于N，則∠BOC=90°，△BOC為等腰直角三角形，由勾股定理求出BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$R即可；
EF為⊙O的內(nèi)正三角形的一條邊，連接OE、OF，作OH⊥EF于H于N，則∠EOF=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OEH=30°，得出OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$R，由勾股定理求出EH，即可得出EF．

解答 解：如圖1所示：AB為⊙O的內(nèi)接正六邊形的一條邊，
連接OA、OB，作OM⊥AB于M，
則∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=r，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
故答案為：R，$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；
如圖2所示：BC為⊙O的內(nèi)接正方形的一條邊，
連接OB、OC，則∠BOC=$\frac{360°}{4}$=90°，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$R；
故答案為：$\sqrt{2}$R；
如圖3所示：EF為⊙O的內(nèi)正三角形的一條邊，
連接OE、OF，作OH⊥EF于H于N，
則∠EOF=$\frac{360°}{3}$=120°，
∵OE=OF，∴∠OEH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$R，
∴EH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴EF=2EH=$\sqrt{3}$R，
故答案為：$\sqrt{3}$R，$\frac{1}{3}$R．

點評 本題考查了正多邊形和圓、正三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；本題綜合性強，難度適中．