Question

6．如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E，且$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$得∠DAE=∠BAE，由AB為直徑得∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的判定方法即可得△ABC為等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理計算出AE=8，接著由AB為直徑得到∠ADB=90°，則可利用面積法計算出BD=$\frac{48}{5}$，然后在Rt△ABD中利用勾股定理計算出AD=$\frac{14}{5}$，再根據(jù)正弦的定義求解．

解答 解：（1）△ABC為等腰三角形．理由如下：
連結(jié)AE，如圖，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴$\frac{1}{2}$AE•BC=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴BD=$\frac{8×12}{10}$=$\frac{48}{5}$，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=$\frac{48}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{14}{5}$，
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\frac{14}{5}}{10}$=$\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．