Question

8．如圖，BC為⊙O的直徑，DE為⊙O的切線，CA與弦BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若DE=3，tanB=$\frac{1}{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OE，CE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥DE，由BC為⊙O的直徑，得到∠BEC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，由余角的性質(zhì)得到∠ACB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：連接OE，CE，
∵DE為⊙O的切線，
∴OE⊥DE，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BEC=90°，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AD=DE，
∴∠1=∠2，
∵OE=OB，
∴∠3=∠4，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴AC為⊙O的切線；
（2）∵DE=3，
∴AC=6，
∴BC=$\frac{AC}{tanB}$=6$÷\frac{1}{3}$=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．