Question

10．已知：如圖，以Rt△ABC的邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AC=5，DE=2時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OD、OE、BD．只要證明△OED≌△OEB，得∠ODE=∠OBE即可解決問題．
（2）首先求出BC，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接OD、OE、BD．

∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，∵∠CDB=90°，BE=CE，
∴DE=EB=EC，
在△OED和△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EB}\\{OE=OE}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴ED⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵DE=2，BC=2DE=4，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OA=1.5．
∴⊙O的半徑為1.5．

點(diǎn)評 本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的斜邊中線性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．