Question

12．已知∠BAC=90°，半徑為r的圓O與兩條直角邊AB，AC都相切，設AB=a（a＞r），BE與圓O相切于點E．現(xiàn)給出下列命題：①當∠ABE=60°時，BE=$\sqrt{3}r$； ②當∠ABE=90°時，BE=r；則下列判斷正確的是（　　）

• A． 命題①是真命題，命題②是假命題
• B． 命題①②都是真命題
• C． 命題①是假命題，命題②是真命題
• D． 命題①②都是假命題

Answer 1

分析 ①如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得出BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，進一步求得RT△OBF≌RT△OBE，得出∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，解直角三角形即可求得BE=$\sqrt{3}r$；
②根據(jù)切線的性質(zhì)得出BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，根據(jù)題意證得四邊形BEDF是正方形，得出BE=r．

解答 解：①如圖1，∵AB和BE是圓O的切線，
∴BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，
在RT△OBF和RT△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴RT△OBF≌RT△OBE（HL），
∴∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，
∴BE=cot30°•OE=$\sqrt{3}$r；
②如圖2，∵AB和BE是圓O的切線，
∴BE=BF，OE⊥BE，OF⊥AB，
∵∠ABE=90°，
∴四邊形BEDF是正方形，
∴BE=OE
∴BE=r．
故命題①②都是真命題．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，命題和定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，切線長定理的應用是解題的關鍵．