Question

9．邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)D是邊OA的中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn) E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點(diǎn)．
（1）求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，求a，h，k；
（3）點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)M，N，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，證△COD≌△DFE即可；
（2）直線AB就是對稱軸，確定了h，算出C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，確定a、k；
（3）分三種情況討論：N在拋物線頂點(diǎn)處；N在拋物線對稱軸左側(cè)；N在拋物線對稱軸右側(cè)．

解答 解：（1）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，

∵DE⊥DC，
∴∠CDO+∠EDF=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EDF，
在△COD和△DFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠FDE}\\{∠COD=∠DFE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△COD≌△DFE（AAS），
∴OD=EF，DF=CO，
∵CO=OA=2，D為OA中點(diǎn)，
∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2，
∴E（3，1）；
（2）∵拋物線y=a（x-h）²+k以AB為對稱軸，
∴h=2，
∵y=a（x-h）²+k經(jīng)過C（0，2）和E（3，1）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{a+k=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{k=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；

（3）①若以DE為平行四邊形的對角線，如圖2，

此時(shí)，N點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)（2，$\frac{2}{3}$），
由N、E兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線NE的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x；
∵DM∥EN，
∴設(shè)DM的解析式為：y=$\frac{1}{3}x+b$，
將D（1，0）代入可求得b=-$\frac{1}{3}$，
∴DM的解析式為：y=$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$，
令x=2，則y=$\frac{1}{3}$，
∴M（2，$\frac{1}{3}$）；
②過點(diǎn)C作CM∥DE交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，連接ME，如圖3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD=∠BCM，
在△OCD和△BCM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠OCD}\\{∠CBM=∠COD}\\{CO=CB}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM=CD=DE，BM=OD=1，
∴CDEM是平行四邊形，
即N點(diǎn)與C占重合，
∴N（0，2），M（2，3）；
③N點(diǎn)在拋物線對稱軸右側(cè)，MN∥DE，如圖4，

作NG⊥BA于點(diǎn)G，延長DM交BN于點(diǎn)H，
∵M(jìn)NED是平行四邊形，
∴∠MDE=MNE，∠ENH=∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH=∠DHB=∠ENH，
∴∠MNB=∠EDF，
在△BMN和△FED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠EFD}\\{∠BNM=∠FDE}\\{MN=DE}\end{array}\right.$
∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM=EF=1，
BN=DF=2，
∴M（2，1），N（4，2）；
綜上所述，N、M分別以下組合時(shí)，以點(diǎn)M，N，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
N（2，$\frac{2}{3}$），M（2，$\frac{1}{3}$）；
N（0，2），M（2，3）；
M（2，1），N（4，2）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．第（3）問體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意不要漏解．