Question

13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠CBA的平分線交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD．
（1）求證：∠DAC=∠ADE；
（2）若⊙O的半徑為5，AD=6，求DP的長．

Answer 1

分析 （1）先證明△ADE和△ADB均為直角三角形，然后依據(jù)同角的余角相等可證明∠ADE=∠ABD，然后結(jié)合角平分線的定義以及同弧所對的圓周角相等進行證明即可；
（2）先依據(jù)勾股定理求得BD的長，然后在△ADB中依據(jù)面積法可求得DE的長，接下來，在△ADE中，依據(jù)勾股定理求得AE的長，設(shè)PD=PA=x，在△APE中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解答 解：（1）∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠ADE=∠ABD．
∵BD平分∠CBA，
∴∠ABD=∠CBD．
∴∠ADE=∠CBD．
又∵∠CBD=∠DAC，
∴∠ADE=∠CAD．
（2）∵圓O的半徑為5，
∴AB=10．
在△ABD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵S_△ADB=$\frac{1}{2}AD•DB$=$\frac{1}{2}AB•DE$，
∴AD•DB=AB•DE，即10DE=48．
解得：DE=4.8．
在△ADE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3.6．
∵∠ADE=∠CAD，
∴PD=PA．
設(shè)PD=PA=x，則PE=4.8-x．
在△APE中，由勾股定理得：AP²=PE²+AE²，即x²=（4.8-x）²+3.6²．整理得：9.6x=36，
解得：x=3.75．
∴DP=3.75．

點評 本題主要考查的是圓周角定理、勾股定理、以及等腰三角形的判定、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．