Question

7．已知拋物線經過原點及點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），且拋物線與x軸的另一交點到原點的距離為1，則該拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x或y=x²+x．

Answer 1

分析 設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），由圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1可得到拋物線與x軸的另一交點坐標為（1，0）或（-1，0），然后分別把（0，0）、（1，0）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）或（0，0）、（-1，0）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）代入解析式中得到兩個方程組，解方程組即可確定解析式．

解答 解：設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
當圖象與x軸的另一交點坐標為（1，0）時，
把（0，0）、（1，0）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=0}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解方程組得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
則二次函數的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x；
當圖象與x軸的另一交點坐標為（-1，0）時，把得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a-b+c=0}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
則二次函數的解析式為y=x²+x．
所以該二次函數解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x或y=x²+x．
故答案為：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x或y=x²+x．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．