Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為P（1，-4），在x軸上截得的線段AB長(zhǎng)為4個(gè)單位，OA＜OB，拋物線與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)函數(shù)解析式；
（2）試確定以B、C、P為頂點(diǎn)的三角形的形狀；
（3）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)F使得△ACF周長(zhǎng)最小，請(qǐng)寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及在x軸上截得的線段AB長(zhǎng)為4個(gè)單位，OA＜OB，得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線解析式即可；
（2）利用網(wǎng)格以及勾股定理得出PC，BC，BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△BCP的形狀；
（3）利用軸對(duì)稱求最短路徑的方法，首先確定F點(diǎn)位置，再求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出F點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖所示：
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為P（1，-4），在x軸上截得的線段AB長(zhǎng)為4個(gè)單位，OA＜OB，
∴A點(diǎn)到對(duì)稱軸直線x=1的距離為2，B點(diǎn)到對(duì)稱軸直線x=1的距離為2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為；（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為；（3，0），
設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-1）²-4，
∴0=a（-1-1）²-4，
解得：a=1，
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖所示：
∵y=x²-2x-3的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴PC=

2

，BC=3

2

，BP=

20

=2

5

，
∴PC²+BC²=BP²，
∴以B、C、P為頂點(diǎn)的三角形的形狀是直角三角形；

（3）存在；
理由：如圖所示：∵A，B點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴BC與直線x=1的交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)△ACF周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，
∴F（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用軸對(duì)稱求最短路徑應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)題意正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．