Question

11．如圖，拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)A，P（a，-a²+$\frac{7}{2}$a+m）（a為任意實(shí)數(shù)）在拋物線上，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，平行于y軸的直線x=2交AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)代數(shù)式-a²+$\frac{7}{2}$a+m的值隨a的增大而減小時(shí)，求a的取值范圍．
（2）當(dāng)m=2時(shí)，直線x=t（0≤t≤4）交AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．若FG：DE=1：2，求t值．
（3）連結(jié)EO，當(dāng)EO平分∠AED時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得DE，F(xiàn)G的長(zhǎng)，根據(jù)比例FG：DE=1：2，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠2=∠3，根據(jù)等腰三角形的判定，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=-a²+$\frac{7}{2}$a+m，
對(duì)稱軸a=-$\frac{\frac{7}{2}}{-2}$=$\frac{7}{4}$，
-1＜0，開(kāi)口向下所以a≥$\frac{7}{4}$時(shí)，代數(shù)式-a²+$\frac{7}{2}$a+m的值隨a的增大而減��；
（2）m=2時(shí)，拋物線：y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即A（0，2），當(dāng)y=0時(shí)，x=4，x=-$\frac{1}{2}$，即B（4，0），
將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
直線AB：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2²+$\frac{7}{2}$×2+2=5，即E（2，5），當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×2+2=1，即D（2，1），
DE=4．
當(dāng)x=t時(shí)，y=-t²+$\frac{7}{2}$×t+2，即E（2，-t²+$\frac{7}{2}$×t+2），當(dāng)x=t時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×t+2，即D（2，1），
FG═-t²+$\frac{7}{2}$×t+2（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t．
若FG：DE=1：2，則t²-4t+2=0，
所以t=2±$\sqrt{2}$，滿足0≤t≤4，
∴FG：DE=1：2，t的值為2$±\sqrt{2}$；
（3）如圖，
OA=m．
當(dāng)x=2時(shí)，y═-2²+$\frac{7}{2}$×2+m=3+m，
E（2，3+m）．
當(dāng)EO平分∠AED時(shí)，∠1=∠2，
∵AO∥DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OA=AE，
m²=2²+（3+m-m）²，
解得m=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是階梯關(guān)鍵；利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出DE，F(xiàn)G的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵；利用等腰三角形的判定的出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．