Question

12．已知y=kx+b過點A（4，2），與x軸的正半軸交于B點，且OB＜4
（1）若OB=2，求k和b的值；
（2）過點B作直線AB的垂線與y軸交于點C，D是x軸正半軸上一點，且∠ADB=45°，設(shè)BD=m，OC=n，當(dāng)2.5≤m≤4時，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件可知B點坐標(biāo)為（2，0），由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得k、b的值；
（2）過A作AE⊥x軸于點E，由條件則可求得D點坐標(biāo)，用m可表示出BE，由條件可證明△AEB∽△BOC，由相似三角形的性質(zhì)可用m表示出n，則可把m+n化為關(guān)于m的二次函數(shù)，再結(jié)合m的取值范圍可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵OB=2且B點在x軸的正半軸上，
∴B（2，0），且A（4，2），
代入y=kx+b可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$；

（2）如圖，過A作AE⊥x軸于點E，

∵OB＜4，且∠ADB=45°，
∴點D在點B的右側(cè)，
∵A（4，2），
∴AE=DE=2，OE=4，
∴OD=6，
∵BD=m，
∴BE=m-2，OB=6-m，
∵BC⊥AB，
∴∠CBO+∠ABE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBO=∠BAE，且∠COB=∠AEB，
∴△BOC∽△AEB，
∴$\frac{BO}{AE}$=$\frac{CO}{BE}$，即$\frac{6-m}{2}$=$\frac{n}{m-2}$，
∴n=$\frac{1}{2}$（6-m）（m-2）=-$\frac{1}{2}$m²+4m-6，
∴m+n=m+（-$\frac{1}{2}$m²+4m-6）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-6=-$\frac{1}{2}$（m-5）²+6.5，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，且對稱軸為m=5，
∴當(dāng)2.5≤m≤4時，m+n隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=4時，m+n有最大值，最大值為6．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的利用，在（2）中求得D點坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)找到n與m的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．