Question

7．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（2，0），B（4，0）
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）該圖需向左平移3±$\sqrt{3}$個(gè)單位；使圖象過點(diǎn)（0，-1）
（3）把原二次函數(shù)的圖象向上平移，設(shè)平移后新二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為P，與x軸交于點(diǎn)C，D，使△CDP是正三角形，求出平移后的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該圖象向左平移a個(gè)單位后圖象過點(diǎn)（0，-1），根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的解析式，代入點(diǎn)（0，-1）即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4+m（m＞0），找出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再令y=0根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系找出|x_D-x_C|的值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的無理方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（2，0）、B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2+2b+c}\\{0=-8+4b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4．
（2）設(shè)該圖象向左平移a個(gè)單位后圖象過點(diǎn)（0，-1），
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{2}$，
∴平移后的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+a-3）²+$\frac{1}{2}$．
∵點(diǎn)（0，-1）在平移后的拋物線圖象上，
∴-1=-$\frac{1}{2}$（a-3）²+$\frac{1}{2}$，
解得：a=3±$\sqrt{3}$．
故答案為：3±$\sqrt{3}$．
（3）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{2}$+m=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4+m（m＞0），
∴拋物線的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（3，m+$\frac{1}{2}$）．
當(dāng)y=0時(shí)，有-$\frac{1}{2}$x²+3x-4+m=0，
∴x_C+x_D=6，x_C•x_D=8-2m．
∵△CDP是正三角形，
∴|x_D-x_C|=$\sqrt{（{x}_{C}+{x}_{D}）^{2}-4{x}_{C}•{x}_{D}}$=2$\sqrt{1+2m}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（m+$\frac{1}{2}$），
解得：m₁=$\frac{11}{2}$，m₂=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)m=$\frac{11}{2}$是方程2$\sqrt{1+2m}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（m+$\frac{1}{2}$）的解．
∴平移后的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平移的性質(zhì)以及正三角形的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵．