Question

在△ABC中，已知∠A=60°，∠C=75°，AB=10，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，則△DEF周長的最小值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)題意得：當(dāng)△DEF為△ABC垂足三角形時(shí)，周長最小，如圖所示，得到DA平分∠FDE，EB平分∠DEF，F(xiàn)C平分∠EFD，作D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，作D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D″，則D′、F、E、D″四點(diǎn)共線，△DEF的周長DE+EF+FD=D″E+EF+FD′=D′D″，延長D′D″交BC延長線于點(diǎn)K，則有∠BD′K=60°，∠DEK=90°，∠K=30°，求出D′K=2BD′=10

2

，DK=BK-

3

BD=5

6

-5

2

，由D″K=EK-ED″=EK-ED，求出D″K的長，根據(jù)D′K-D″K求出D′D″的長，即為△DEF周長的最小值．

解答：解：根據(jù)題意得：當(dāng)△DEF為△ABC垂足三角形時(shí)，周長最小，
此時(shí)DA平分∠FDE，EB平分∠DEF，F(xiàn)C平分∠EFD，
如圖，作D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，作D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D″，則D′、F、E、D″四點(diǎn)共線，
△DEF的周長DE+EF+FD=D″E+EF+FD′=D′D″，
延長D′D″交BC延長線于點(diǎn)K，則有∠BD′K=60°，∠DEK=90°，∠K=30°，
∵BD′=BD=

2

2

AB=5

2

，
∴D′K=2BD′=10

2

，DK=BK-

3

BD=BD′-

2

2

AB=5

6

-5

2

，
∴D″K=EK-ED″=EK-ED=

3

2

DK-

1

2

DK=

2

3

（5

6

-5

2

）-

1

2

（5

6

-5

2

）=10

2

-5

6

，
則D′D″=D′K-D″K=10

2

-（10

2

-5

6

）=5

6

，即△DEF周長的最小值為5

6

．

點(diǎn)評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，其理論依據(jù)是三角形的兩邊之和大于第三邊，作出對稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．