Question

10．已知矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．
（1）求證：△ABM≌DCM；
（2）判斷四邊形MENF是菱形（只寫結(jié)論，不需證明）；
（3）在（1）（2）的前提下，當(dāng)$\frac{AD}{AB}$等于多少時，四邊形MENF是正方形，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中點，根據(jù)SAS即可證明△ABM≌△DCM；
（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知條件證出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位線，即可證出EN=FN=ME=MF，得出四邊形MENF是菱形；
（3）先證出∠AMB=45°，同理得出∠DMC=45°，證出∠BMC=90°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M(jìn)是AD的中點，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四邊形MENF是菱形；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分別是線段BM、CM的中點，
∴ME=BE=$\frac{1}{2}$BM，MF=CF=$\frac{1}{2}$CM，
∴ME=MF，
又∵N是BC的中點，
∴EN、FN是△BCM的中位線，
∴EN=$\frac{1}{2}$CM，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$BM，
∴EN=FN=ME=MF，
∴四邊形MENF是菱形；
（3）解：當(dāng)$\frac{AD}{AB}$=2時，四邊形MENF是正方形；
證明如下：當(dāng)$\frac{AD}{AB}$=2時，AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，
∴四邊形MENF是正方形．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)以及菱形、正方形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．