Question

3．已知∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)．
（1）找到A、B點(diǎn)，保留作圖痕跡；
（2）求此時(shí)∠APB等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB又等于多少？

Answer 1

分析 （1）作出點(diǎn)P關(guān)于OM、OB的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′，然后連接A′B′，A′B′與OM、ON交點(diǎn)即可找到A、B兩點(diǎn)的位置；
（2）首先由翻折的性質(zhì)可知：∠CPD=140°，然后在△A′B′P中，由三角形的內(nèi)角和定理可求得：∠A′+∠B′=40°，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知∠CPA+∠BPD=40°，從而可求得∠APB的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）如圖下圖所示：連AP、BP．

∵點(diǎn)A′與點(diǎn)P關(guān)于直線OM對(duì)稱，點(diǎn)B′與點(diǎn)P關(guān)于ON對(duì)稱，
∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP．
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′．
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠CPD=180°．
∴∠CPD=180°-40°=140°．
在△A′B′P中，由三角形的內(nèi)角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-140°=40°．
∴∠CPA+∠BPD=40°．
∴∠APB=140°-40=100°．
如果∠MON=θ，則∠CPD=180°-θ．
在△A′B′P中，由三角形的內(nèi)角和定理可知：∠A′+∠B′=θ．
∴∠CPA+∠BPD=θ．
∴∠APB=180°-2θ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是軸對(duì)稱-路徑最短問(wèn)題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定出A、B的位置是解題的關(guān)鍵．