Question

16．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越接近圓周長(zhǎng)，由此求得了圓周率π的近似值，設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓的直徑為d，如圖所示，當(dāng)n=6時(shí)，π≈$\frac{L}uoduf51$=$\frac{6r}{2r}$=3，那么當(dāng)n=12時(shí)，π≈$\frac{L}0xqd006$=3.11．（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°≈0.259）

Answer 1

分析 圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個(gè)等腰三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得L=24r•sin15°，d=2r，進(jìn)而得到π≈$\frac{L}ush5g5e$≈3.11．

解答 解：如圖，圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成12個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為30°，即∠AOB=30°，
作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠AOH=15°，
∵AO=BO=r，
∵Rt△AOH中，sin∠AOH=$\frac{AH}{AO}$，即sin15°=$\frac{AH}{r}$，
∴AH=r×sin15°，AB=2AH=2r×sin15°，
∴L=12×2r×sin15°=24r×sin15°，
又∵d=2r，
∴π≈$\frac{L}xqhwau5$=$\frac{24r×sin15°}{2r}$≈3.11，
故答案為：3.11

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正多邊形和圓以及解直角三角形的運(yùn)用，把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．