Question

15．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA=6，頂點(diǎn)為M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；
（2）先求出MB的解析式，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)，用面積的和即可得出結(jié)論；
（3）先確定直線MB解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，分三種情況用兩邊相等建立方程求解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OB=OC=3OA=6，
∴OA=2，
∴A（-2，0），B（6，0），C（0，6），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），
將點(diǎn)C（0，6）代入此解析式中，得，6=a×2×（-6），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6；
（2）由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8；
∴M（2，8）
∴直線MB的解析式為y=-2x+12
∵PQ⊥x軸，OQ=m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-2m+12）
S_{四邊形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=-m²+9m+6（2≤m＜6）；
（3）存在，
理由：由（1）（2）知，B（6，0），M（2，8），
∴直線BM解析式為y=-2x+12，
設(shè)點(diǎn)N（n，-2n+12）（2＜n＜6），
∵C（0，6），
∴MN²=（n-2）²+（-2n+12-8）²=（n-2）²+4（n-2）²=5（n-2）²，
MC²=4+4=8，
NC²=n2+（-2n+12-6）²=n²+（2n-6）²，
∵△NMC為等腰三角形，
①當(dāng)MN=MC時(shí)，∴MN²=MC²，
∴5（n-2）²=8，
∴n=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2或n=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2＜2（舍）
∴N（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2，8-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$），
②當(dāng)MN=NC時(shí)，
∴MN²=NC²，
∴5（n-2）²=n²+（2n-6）²，
∴n=4，
∴N（4，4）
③MC=NC時(shí)，∴MC²=NC²，
∴8=n²+（2n-6）²，
∴n=2（舍）或n=$\frac{14}{5}$，
∴N（$\frac{14}{5}$，$\frac{32}{5}$）
∴線段BM上存在點(diǎn)N（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+2，8-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$），（　　）4，4），（$\frac{14}{5}$，$\frac{32}{5}$）使△NMC為等腰三角形．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，幾何圖形面積的計(jì)算方法，平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論思想，是一道中等難度的基本試題．