Question

如圖，一元二次方程x²+2x﹣3=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)G，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（    ），G點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）；
（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MG+MA取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）解方程x²+2x﹣3=0
得x₁=﹣3，x₂=1．
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：C（﹣3，0），B（1，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．
∵A（3，6）在拋物線上，
∴6=a（3+3）·（3﹣1），
∴a=，
∴拋物線解析式為y=x²+x﹣．
（2）由y=x²+x﹣=（x+1）²﹣2，
∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），對(duì)稱軸方程為x=﹣1．
設(shè)直線AC的方程為y=kx+b，
∵A（3，6），C（﹣3，0）在該直線上，
∴，
∴直線AC的方程為：y=x+3．
將x=﹣1代入y=x+3得y=2，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）．
（3）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，﹣6），連接A′G，A′G與x軸交于點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)．
設(shè)直線A′G的方程為y=kx+b．
∴，
∴直線A′G的方程為y=﹣2x，
令x=0，則y=0．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．