Question

如圖所示，已知點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，△ACM、△BCN都是等邊三角形，連接DE．
（1）試探究AN與BM的關(guān)系；
（2）求證：AD=ME；
（3）連接OC，證明∠AOC為60°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由△ACM、△BCN都是等邊三角形可以得到△ACN與△MCB全等的條件，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）由△ACN≌△MCB就可以得出∠CMB=∠CAN，再證明△MCE≌△ACD就可以得出結(jié)論；
（3）過(guò)C作CZ⊥AN于Z，作CF⊥BM于F，求出∠AOB=120°，根據(jù)面積公式求出CZ=CF，推出OC平分∠AOB，即可得出答案．

解答：（1）解：AN=BM，理由如下：
∵△ACM、△BCN都是等邊三角形，
∴AC=MC，∠ACM=∠BCN，NC=BC，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN與△MCB中，

AC=MC   ∠ACN=∠MCB   NC=BC

，
∴△ACN≌△MCB
∴AN=BM；

（2）證明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB，
∵△ACM、△BCN都是等邊三角形．
∴∠ACM=∠NCB=60°
∵∠ACM+∠NCB+∠MCN=180°，
∴∠MCN=60°．
∴∠ACM=∠MCN．
在△CAD和△CEM中，

∠CAN=∠CMB   CA=CM   ∠ACN=∠MCN

，
∴△CAD≌△CEM（SAS），
∴AD=ME；

（3）
證明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∴∠AOM=∠MBC+∠NAC=∠ANC+∠NAC=∠NCB=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
過(guò)C作CZ⊥AN于Z，作CF⊥BM于F，
∵△ACN≌△MCB，
∴AN=BM，S_△ACN=S_△MCB，
∴

1

2

AN×CZ=

1

2

BM×CF，
∴CZ=CF，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．