Question

已知如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，△DCE是等腰三角形，CD=CE，點B、C、E在一條直線上，點M是AB上的一點，P是線段MC的中點，PA⊥PN，點N在DE上．
（1）探究PA與PN的關系，并證明你的結論．
（2）探究DN與AM的關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證△MGP≌△CPI，再得出△JPG≌△NPI，最后證明△AGN是等邊三角形，即可求解；
（2）首先證明A、H、N、P四點共圓，則∠AHN=90°，然后利用三角函數(shù)即可求解．

解答：解：（1）連接BD．
過點P作HG∥BD交AD、AB延長線于點H、G．延長NO到J使IP=NP，連接AN、AJ．
∵P是MC的中點，MG∥IC
∴△MGP≌△CIP，
∴PI=PG，
∴△JPG≌△NPI，
∴JG=NI．
∵菱形ABCD中，∠BAD=180°-∠ABC=60°，AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形．
又∵HG∥BD，
∴△DIH和△AGH都是等邊三角形．
∴△NHD≌△NID，
∴NI=NH=JG．
∵P是MC的中點，AP⊥NJ，
∴JG=AN．
在△AJG和△ANH中，

AJ=AN AG=AH JG=NH

，
∴△AJG≌△ANH（SSS）．
又∵△AJN是等邊三角形，
∴PA=

3

PN；
（2）設AM=x，DI=y，AB=a，
則CI=MG=a-y，
∵四邊DBGI是平行四邊形，
∴BG=y，
∴MB=a-y-y，
∵x+MB=a，
∴x+a-y-y=a，
∴x=2y，
∴AM=2DI．
∵∠AHP=∠ANP=60°，
∴A、H、N、P四點共圓．
∵∠APN=90°，
∴∠AHN=90°，則y=

3

2

DN，
∴DI=

3

2

DN．
∴AM=

3

DN．

點評：本題是推理證明題，主要考查菱形的邊的性質(zhì)，同時綜合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是關鍵．