Question

18．如圖，四邊形OP₁A₁B₁、A₁P₂A₂B₂、A₂P₃A₃B₃、…、A_n-1P_nA_nB_n都是正方形，對角線OA₁、A₁A₂、A₂A₃、…、A_n-1A_n都在y軸上（n≥1的整數(shù)），點P₁（x₁，y₁），點P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，并已知B₁（-1，1）．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）求點P₂和點P₃的坐標(biāo)；
（3）由（1）、（2）的結(jié)果或規(guī)律試猜想并直接寫出：△P_nB_nO的面積為1，點P_n的坐標(biāo)為（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由四邊形OP₁A₁B₁為正方形且OA₁是對角線知B₁與P₁關(guān)于y軸對稱，得出點P₁（1，1），據(jù)此可得答案；
（2）連接P₂B₂、P₃B₃，分別交y軸于點E、F，由點P₁坐標(biāo)及正方形的性質(zhì)知OA₁=2，據(jù)此可設(shè)P₂的坐標(biāo)為（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得點P₃的坐標(biāo)；
（3）由${S}_{△{P}_{1}{B}_{1}O}$=2${S}_{△{P}_{1}CO}$=2×$\frac{1}{2}$=1，${S}_{△{P}_{2}{B}_{2}O}$=2${S}_{△{P}_{2}EO}$=2×$\frac{1}{2}$=1可知△P_nB_nO的面積為1，根據(jù)P₁（1，1）、P₂（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）、P₃（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）知點P_n的坐標(biāo)為（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）．

解答 解：（1）在正方形OP₁A₁B₁中，OA₁是對角線，
則B₁與P₁關(guān)于y軸對稱，
∵B₁（-1，1），
∴P₁（1，1）．
則k=1×1=1，即反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$；

（2）連接P₂B₂、P₃B₃，分別交y軸于點E、F，

又點P₁的坐標(biāo)為（1，1），
∴OA₁=2，
設(shè)點P₂的坐標(biāo)為（a，a+2），
代入y=$\frac{1}{x}$得a=$\sqrt{2}$-1，
故點P₂的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1），
則A₁E=A₂E=2$\sqrt{2}$-2，OA₂=OA₁+A₁A₂=2$\sqrt{2}$，
設(shè)點P₃的坐標(biāo)為（b，b+2$\sqrt{2}$），
代入y=$\frac{1}{x}$（x＞0）可得b=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
故點P₃的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）

（3）∵${S}_{△{P}_{1}{B}_{1}O}$=2${S}_{△{P}_{1}CO}$=2×$\frac{1}{2}$=1，${S}_{△{P}_{2}{B}_{2}O}$=2${S}_{△{P}_{2}EO}$=2×$\frac{1}{2}$=1，…
∴△P_nB_nO的面積為1，
由P₁（1，1）、P₂（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）、P₃（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）知點P_n的坐標(biāo)為（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$），
故答案為：1、（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)設(shè)出所求點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．