Question

13．如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CD⊥AC于C，AC交⊙O于E，CE=2，CD=4．
（1）求點(diǎn)D到AB的距離；
（2）求⊙O的半徑R及BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥CD，易證得OC∥AD，繼而可得AC平分∠DAB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)O作AC的垂線，設(shè)垂足為G，得到四邊形ODCG是矩形，根據(jù)切割線定理得到CD²=CE•CA，求得AC=8，AE=6，GE=$\frac{1}{2}$AE=3，于是得到⊙O的半徑=5，連接BE，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=8，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

解答 解：（1）連接OD，
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥CD，
∵AC⊥CD，
∴OD∥AD，
∴∠DAC=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB，
∴點(diǎn)D到AB的距離=CD=4；

（2）過(guò)O作AC的垂線，設(shè)垂足為G，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OGC=∠ODC=90°，
∴四邊形ODCG是矩形，
∵CD是切線，CEA是割線，
∴CD²=CE•CA，
∵CD=2CE=4，
∴AC=8，
∴AE=6，
∴GE=$\frac{1}{2}$AE=3，
∴OD=CG=EG+EC=3+2=5，
∴⊙O的半徑=5，
連接BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=OD=10，AE=6，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=8，
∵CE=2，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，以及切割線定理，其中作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．