Question

4．如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過格點A、B、C．
（1）畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連接AD、CD．
（2）請在（1）的基礎上，以點O為原點、水平方向所在直線為x軸、豎直方向所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，完成下列問題：
①⊙D的半徑為2$\sqrt{5}$（結果保留根號）；
②若用扇形ADC圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面圓半徑是$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
③若E（7，0），試判斷直線EC與⊙D的位置關系并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線，兩直線的交點即為圓心D，連接AD，CD；
（2）①根據(jù)第一問畫出的圖形即可得出C及D的坐標；
②在直角三角形AOD中，由OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，即為圓O的半徑；
③直線CE與圓O的位置關系是相切，理由為：由圓的半徑得出DC的長，在直角三角形CEF中，由CF及FE的長，利用勾股定理求出CE的長，再由DE的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE為直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直線CE為圓O的切線．

解答 解：（1）根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：


（2）①在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根據(jù)勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則⊙D的半徑為2$\sqrt{5}$；
②AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CD=2$\sqrt{5}$，
AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°．
扇形ADC的弧長=$\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π，
圓錐的底面的半徑=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
③直線EC與⊙D的位置關系為相切，
理由為：在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，
根據(jù)勾股定理得：CE=$\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在△CDE中，CD=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，DE=5，
∵CE²+CD²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=5+20=25，DE²=25，
∴CE²+CD²=DE²，
∴△CDE為直角三角形，即∠DCE=90°，
則CE與圓D相切．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：坐標與圖形性質，垂徑定理，勾股定理及逆定理，切線的判定，利用了數(shù)形結合的思想，根據(jù)題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．