Question

12．如圖，拋物線y=ax²-6x+c與x軸交于點A、B（5，0），與y軸交于點C（0，5），點P是拋物線上的動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，連接PB、PC，PC與x軸交于點D，過點P作y軸的平行線交x軸于點H、交直線BC于點E．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若點P在第四象限，則△BPC的面積有最大值（填“最大”或“最小”），并求出其值；
（3）當(dāng)t＜5時，△BPE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐標(biāo)可求得拋物線解析式；
（2）可求得直線BC的解析式，則可用t表示出PE的長，進一步可表示出△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（3）可用t表示出P、H、E 的坐標(biāo)，由（2）可知△BHE為等腰直角三角形，可求得BE=$\sqrt{2}$（-t+5），分PE=PB、BE=BP和BE=PE三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，則可求得P點的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵B（5，0），C（0，5），
∴c=5，0=25a-30+c，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-6x+5；

（2）∵B（5，0），C（0，5），
∴直線BC解析式為y=-x+5，
∵P的橫坐標(biāo)為t，連接PB、PC，PC與x軸交于點D，過點P作y軸的平行線交x軸于點H、交直線BC于點E．
∴P（t，t²-6t+5），E（t，-t+5），
∴PE=-t+5-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{1}{2}$×5（-t²+5t）=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∵-$\frac{5}{2}$＜0，
∴S_△PBC有最大值，最大值為$\frac{125}{8}$，
故答案為：最大；

（3）存在．理由如下：
由題意可知P（t，t²-6t+5），則H（t，0），E（t，-t+5），且△BHE為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$（5-t），
∵△BPE為等腰三角形，
∴有PE=PB、BE=BP和BE=PE三種情況，
①當(dāng)PE=PB時，由于∠PEB=45°，
∴△PEB為等腰直角三角形，點P在A點處，即P（1，0），符合題意；
②當(dāng)BE=BP時，由于PE⊥BH，
∴HE=HP，即點E與點P關(guān)于x軸對稱，
∴-t+5+t²-6t+5=0，解得t=2或t=5（不合題意，舍去），
∴P（2，-3）；
③當(dāng)BE=PE時，
∵△EHB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$HB=$\sqrt{2}$（5-t），且PE=|-t²+5t|，
∴|-t²+5t|=$\sqrt{2}$（5-t），解得t=±$\sqrt{2}$或t=5（不舍題意，舍去），
∴P（$\sqrt{2}$，7-6$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，7+6$\sqrt{2}$）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標(biāo)為（1，0）或（2，-3）或（$\sqrt{2}$，7-6$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，7+6$\sqrt{2}$）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用t表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中用t分別表示出BE、PE和BP的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．