Question

5．拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，-3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖所示，則以下結(jié)論：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a-c=3；④方程以ax²+bx+c+3=0有兩個(gè)的實(shí)根，其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 拋物線開(kāi)口向上a＞0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，b＞0，拋物線和y軸負(fù)半軸相交，c＜0，則abc＜0，由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0；有拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，所以當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，則a+b+c＞0；由拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，-3）得a-b+c=-3，由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a，所以a-c=3；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為-3，即b²-4ac=-12a，b²-4a（c+3）=b²-4ac-12a=-24a，所以說(shuō)方程ax²+bx+c+3=0無(wú)實(shí)數(shù)根．

解答 解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，
∴b＞0，
∵拋物線和y軸負(fù)半軸相交，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；
∵當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，
∴y=a+b+c＞0，故②錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，-3）
∴a-b+c=-3，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a，
把b=2a代入a-b+c=-3，得a-2a+c=-3，
∴c-a=-3，
∴a-c=3，故③正確；
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c有最大值為-3，
∴b²-4ac=-12a，
∴方程ax²+bx+c+3=0的判別式△=b²-4a（c+3）=b²-4ac-12a=-24a＜0，
∴方程ax²+bx+c+3=0無(wú)實(shí)數(shù)根，故④錯(cuò)誤；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開(kāi)口向上；對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．