Question

14．如圖，點P為⊙0外一點，PC與⊙0相切于點C，PO的延長線交⊙0于E，⊙0的半徑為3，PC=4，求CE的長．

Answer 1

分析 設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．根據(jù)勾股定理得PO=25，則PE=40．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根據(jù)勾股定理求解CE．

解答 解：如圖所示：連接OC、CF．

∵CP是圓O的切線，
∴∠OCP=90°．
∴OP=$\sqrt{O{C}^{2}+C{P}^{2}}$=5．
∴PE=8．
∵⊙O與PC相切于點C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直徑，
∴∠ECF=90°．
設(shè)CF=x，則EC=2x．
則x²+（2x）²=6²，
解得x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∴CE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，證得CF：CE=1：2是解題的關(guān)鍵．