Question

11．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC為對(duì)角線，作DO₁⊥AC，O₁為垂足，作O₁O₂⊥AD，O₂為垂足，作O₂O₃⊥AO₁，O₃為垂足，作O₃O₄⊥O₁O₂，O₄為垂足，…，請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖，然后計(jì)算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…=1．

Answer 1

分析 將算式中的每個(gè)加數(shù)用對(duì)應(yīng)的三角形的面積來(lái)表示，根據(jù)圖形得到代數(shù)式的值等于正方形的面積減去△O₁O₃O₄的面積求解即可．

解答 解：△ABC的面積=△ADC的面積=$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$△CDO₁的面積=△ADO₁的面積=$\frac{1}{{2}^{2}}$；
△AO₁O₂的面積=△DO₁O₂的面積=$\frac{1}{{2}^{3}}$，則$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$；
△O₂O₃O₄的面積=△O₁O₂O₃的面積=$\frac{1}{{2}^{4}}$，則$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=1-$\frac{1}{{2}^{3}}$；
…
原式=正方形的面積-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
當(dāng)n取無(wú)窮大時(shí)，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值為0．
∴代數(shù)式的值=1-0=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)，明確代數(shù)式的值=正方形的面積-$\frac{1}{{2}^{n}}$是解題的關(guān)鍵．