Question

19．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF，CF，連接BE并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)G．下列結(jié)論：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S_△ABC=S_△ACF+S_△DCF；④若BD=2DC，則GF=2EG．其中正確的結(jié)論是①②③④．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可判斷．
②正確．只要證明四邊形ABDF是平行四邊形即可．
③正確．只要證明△BCE≌△FDC．
④正確．只要證明△BDE∽△FGE，得$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，由此即可證明．

解答 解：①正確．∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等邊三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，故①正確．
②正確．∵∠ABC=∠FDC，
∴AB∥DF，
∵∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB=BC，故②正確．
③正確．∵△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，S_△ABE=S_△AFC，
在△BCE和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DF}\\{CE=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FDC，
∴S_△BCE=S_△FDC，
∴S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE=S_△ACF+S_△DCF，故③正確．
④正確．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，
∴$\frac{FG}{EG}$=$\frac{BD}{DE}$，
∵BD=2DC，DC=DE，
∴$\frac{FG}{EG}$=2，
∴FG=2EG．故④正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，需要正確尋找全等三角形，屬于中考�？碱}型．