Question

10．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BE⊥AC于H，F(xiàn)為⊙O上的一點(diǎn)，過(guò)F的直線與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接AF交BM于G，且MF=MG．
（1）求證：MD為⊙O的切線；
（2）若MD∥AB，寫出FG、EG、MF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若cosM=$\frac{4}{5}$，F(xiàn)D=6，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠MFG=∠MGF=∠AGB，連接FO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AFH=∠GAH，得到∠MFO=90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠M=∠B，連接EF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)AH=3k，AB=5k，HB=4k，連接OB，根據(jù)已知條件得到FO=8=OB=OA，求得OH=8-3k根據(jù)勾股定理列方程得到k=$\frac{48}{25}$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=GB=5k，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵M(jìn)F=MG，
∴∠MFG=∠MGF=∠AGB，
連接FO，
∵OF=AO，
∴∠AGH=∠GAH=90°，
∴∠MFO=90°，
∴MD為⊙O的切線；
（2）解：FG²=EG•MF，
理由：∵M(jìn)D∥AB，
∴∠M=∠B，
連接EF，
∵∠EFG=∠B，
∴∠M=∠EFG，
∵∠MGF=∠FGE，
∴△MGF∽△FGE，
∴$\frac{FG}{MG}=\frac{EG}{FG}$，
即FG²=MF•EG；
（3）解：∵∠M=∠B，cosM=$\frac{4}{5}$，
∴設(shè)AH=3k，AB=5k，HB=4k，
連接OB，
∵∠FOD=∠M，F(xiàn)D=6，
∴FO=8=OB=OA，
∴OH=8-3k，
∵OH²+HB²=OB²，
∴（4k）²+（8-3k）²=8²，
解得：k=$\frac{48}{25}$，
∵M(jìn)G∥AB，
∴∠MFG=∠BAF，
∴∠BGA=∠BAG，
∴AB=GB=5k，
∴GH=k，
∴AG=$\sqrt{10}$k，
∴AG=$\frac{48}{25}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義．