Question

17．如圖，一次函數(shù)y=-（b+2）x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），且與y軸相交于點(diǎn)C，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于點(diǎn)P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y軸于點(diǎn)M，已知S_△MPC=4，求雙曲線的解析式．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出b值；
（2）過點(diǎn)P作PB⊥MC于點(diǎn)B，由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由此可得出OC=OA，進(jìn)而找出∠ACO=45°、△PMC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積即可求出PB的長度，再根據(jù)點(diǎn)P的位置結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)P的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式，此題的解．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-（b+2）x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴b+2+b=0，
解得：b=-1．
（2）過點(diǎn)P作PB⊥MC于點(diǎn)B，如圖所示．
將b=-1代入一次函數(shù)解析式，得：y=-x-1．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），
∴OC=1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OA=1=OC，
∴∠ACO=45°．
∵PM⊥PC，
∴△PMC為等腰直角三角形，
∵PB⊥MC，
∴PB=$\frac{1}{2}$MC，
∴S_△PMC=$\frac{1}{2}$CM•PB=PB²，
∵S_△PMC=4，
∴PB²=4，即PB=2或PB=-2（舍去），
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-（-2）-1=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，1）．
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)P，
∴k=-2×1=-2，
∴雙曲線的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．