Question

11．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F．若AB=9，F(xiàn)是CD的三等分點，則BC=6$\sqrt{2}$+3或3$\sqrt{2}$+6．

Answer 1

分析 先延長EF和BC，交于點G，再根據(jù)條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長，然后根據(jù)條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據(jù)△EFD∽△GFC得出比例式，用F是CD的三等分點，分兩種情況：DF=2CF和CF=2DF進行討論計算得出CG與DE的倍數(shù)關系，并根據(jù)BG=BC+CG進行計算即可．

解答 解：延長EF和BC，交于點G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE=9$\sqrt{2}$，
又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=9$\sqrt{2}$，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∴①當DF=2CF時，
$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}$=$\frac{CF}{2CF}$=$\frac{1}{2}$，
設CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴9$\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=3$\sqrt{2}$-3，
∴BC=9+2（3$\sqrt{2}$-3）=6$\sqrt{2}$+3，
②當DF=$\frac{1}{2}$CF時，
$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}$=$\frac{CF}{\frac{1}{2}CF}$=2，
設DE=x，
∴CG=2x，則AD=9+x=BC
∵BG=BC+CG
∴9$\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=3$\sqrt{2}$-3，
∴BC=9+（3$\sqrt{2}$-3）=3$\sqrt{2}$+6，
故答案為：6$\sqrt{2}$+3或3$\sqrt{2}$+6．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關鍵是得出BG=BE，要分兩種情況討論計算，易丟掉第二種情況．