Question

9．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P、E分別是AC、BC的延長線上的點(diǎn)，且AP=CE，點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，PM和BA的延長線相交于點(diǎn)N．
（1）試說明△NAP是等腰三角形；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥AB，交PN于點(diǎn)D，試證明ND=2DP．

Answer 1

分析 （1）作PN∥AB交BE于N，先證得△PCN是等邊三角形，進(jìn)而證得CM=NM，然后根據(jù)三線合一的性質(zhì)證得∠CPM=∠NPM=30°，PN⊥BE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠PAN=120°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠N=30°，從而證得△NAP是等腰三角形；
（2）根據(jù)已知求得∠DAP=∠APN=30°，得出AD=PD，然后根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出ND=2AD，即可證得ND=2DP．

解答 證明：（1）作PN∥AB交BE于N，
∴∠PNC=∠ABC=60°，
∵∠PCN=∠ACB=60°，
∴△PCN是等邊三角形，
∴CN=PC，
∵AP=CE，
∴AP-CP=CE-CN，
即AC=EN，
∵BC=AC，
∴BC=EN，
∵BM=EM，
∴CM=NM，
∴∠CPM=∠NPM=30°，PN⊥BE，
∵∠PAN=120°，
∴∠N=30°，
∴∠APN=∠N，
∴PA=AN，
∴△NAP是等腰三角形；
（2）∵AD⊥AB，∠BAC=60°，
∴∠DAP=30°，
∴∠DAP=∠APN=30°，
∴AD=PD，
在RT△DAN中，∠N=30°，
∴ND=2AD，
∴ND=2PD．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．