Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c過原點，且與x軸交于A（4，0），M為拋物線的頂點，問拋物線是否存在點P，使得∠POM=90°？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：先將A（4，0），O（0，0）代入y=x²+bx+c，列方程組求b、c的值，確定拋物線解析式，用配方法求出頂點M的坐標，再設(shè)P（m，m²-4m），過P作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明∠EPO=∠FOM，可證Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求m的值即可．

解答：解：將A（4，0），O（0，0）代入y=x²+bx+c，
得

16+4b+c=0 c=0

，解得

b=-4 c=0

，
所以y=x²-4x，即y=（x-2）²-4，
頂點M（2，-4）．
設(shè)拋物線上存在一點P，使OP⊥OM，其坐標為（m，m²-4m），
過P作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F．
∵∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90°，
∴∠EPO=∠FOM．
在△OEP與△MFO中，

∠OEP=∠MFO=90° ∠EPO=∠FOM

，
∴△OEP∽△MFO，
∴OE：MF=EP：OF，即（m²-4m）：2=m：4，
解得m₁=0（舍去），m₂=

9

2

．
故拋物線上存在一點P，使∠POM=90°，P點的坐標為（

9

2

，

9

4

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)已知點的坐標求拋物線解析式，根據(jù)∠POM=90°構(gòu)造相似三角形，利用相似比求解．