Question

如圖，已知△OAB的頂點A（-6，0），B（0，2），O是坐標原點， 將△OAB繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．

（1）寫出C點的坐標為 ;

（2）設過A，D，C三點的拋物線的解析式為，求其解析式?

（3）證明AB⊥BE．

 

Answer 1

（1）C（2，0），D（0，6）；（2）y=﹣x2﹣2x+6；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OC=OB，OD=OA，進而可得C、D兩點的坐標；

（2）由于拋物線過點A（﹣6，0），C（2，0），所以設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再將D（0，6）代入，求出a的值，得出拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點E的坐標；

（3）已知A、B、E三點的坐標，運用兩點間的距離公式計算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，則AB2+BE2=AE2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE．

試題解析：（1）∵將△OAB繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC，

∴△ODC≌△OAB，

∴OC=OB=2，OD=OA=6，

∴C（2，0），D（0，6）；

（2）∵拋物線過點A（﹣6，0），C（2，0），

∴可設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），

∵D（0，6）在拋物線上，

∴6=﹣12a，

解得a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x2﹣2x+6；

（3）∵y=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，

∴頂點E的坐標為（﹣2，8），

連接AE．

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），

∴AB2=62+22=40，BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80，

∴AB2+BE2=AE2，

∴AB⊥BE．．

考點：二次函數(shù)綜合題．