Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠C=67.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，可證明OD∥AC，可證得DF⊥AC；
（2）連接OE，可得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式可求得陰影部分面積．

解答 （1）證明：
如圖1，連接OD，

∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC；
（2）解：
如圖2，連接OE，

∵DF⊥AC，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∴∠BAC=45°．
∵OA=OB，
∴∠AOE=90°．
∵⊙O的半徑為4，
∴S_陰影=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4×4=4π-8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．