Question

如圖，二次函數(shù)圖象的頂點是P（2，-1），與x軸交于點A和點B（3，0）
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）點Q為第一象項的拋物線上一點，且AQ⊥PA．
①求S_△PAQ的值；
②PQ交x軸于M，求

MP

MQ

的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)頂點式解析式y(tǒng)=a（x-2）²-1（a≠0），然后把點B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；
（2）①令y=0求出點A的坐標(biāo)，然后求出∠PAB=45°，再求出∠BAQ=45°，然后求出直線AQ的解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點Q的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求出AP、AQ的長，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解；
②根據(jù)等底的三角形的面積的比等于高的比求出S_△APM：S_△AMQ，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求解即可．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)頂點式解析式y(tǒng)=a（x-2）²-1（a≠0），
將點B（3，0）代入得，a（3-2）²-1=0，
解得a=1，
所以，函數(shù)解析式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
即y=x²-4x+3；

（2）①令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
所以，點A的坐標(biāo)為（1，0），
∵頂點P（2，-1），
∴∠PAB=45°，
∵AQ⊥PA，
∴∠BAQ=90°-45°=45°，
∴直線AQ的解析式為y=x-1，
聯(lián)立

y=x2-4x+3 y=x-1

，
解得

x1=1 y1=0

，

x2=4 y2=3

，
∴點Q的坐標(biāo)為（4，3），
由勾股定理得，AP=

(2-1)2+(-1-0)2

=

2

，
AQ=

(4-1)2+(3-0)2

=3

2

，
∴S_△PAQ=

1

2

×

2

×3

2

=3；

②∵點P（2，-1），Q（4，3），
∴S_△APM：S_△AMQ=1：3，
∵點A到PQ的距離相等，
∴

MP

MQ

=

S△APM

S△AMQ

=

1

3

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，兩點間的距離的求解，等底的三角形的面積的比等于高的比，等高的三角形的面積的比等于底邊的比．