Question

3．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，過點B作BE∥CD交CA的延長線于E．
（1）求證：OC²=OA•OE；
（2）若BD=6，OE=13，求OA、AE的值？

Answer 1

分析 （1）由平行線分線段成比例可得對應(yīng)線段成比例，進而通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD=6，設(shè)OA=x，則OC=6-x，由（1）知，OC²=OA•OE，列方程即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$，
又∵BE∥CD，∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OC}{OE}$，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OE}$，
即OC²=OA•OE；

（2）等腰梯形ABCD中，
∵AC=BD=6，
設(shè)OA=x，則OC=6-x，
中（1）知，OC²=OA•OE，
∴（6-x）²=13x，
解得：x=$\frac{25+\sqrt{481}}{2}$（不合題意，舍去），x=$\frac{25-\sqrt{481}}{2}$，
∴OA=$\frac{25-\sqrt{481}}{2}$，AE=OE-OA=$\frac{\sqrt{481}+1}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得相似三角形和相等的比．