Question

12．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值為2．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出y＜0時x的取值范圍；
（3）直接寫出使y隨x增大的減小的x的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知該拋物線的頂點(diǎn)是（$\frac{-2+3}{2}$，2），則可設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+2，然后將點(diǎn)A代入該解析式即可求得a的值；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，直接寫出y＜0的取值范圍即可；
（3）根據(jù)拋物線的對稱軸及開口方向，直接寫出y隨x增大而減小的范圍即可．

解答 解：（1）∵該二次函數(shù)有最大值，
∴該函數(shù)的圖象開口方向向下．
又∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴該拋物線的對稱軸是x=$\frac{-2+3}{2}$=$\frac{1}{2}$，函數(shù)有最大值2，
∴該函數(shù)的頂點(diǎn)是（$\frac{1}{2}$，2）．
∴可設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+2（a＜0），
則將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得0=a（-2-$\frac{1}{2}$）²+2，解得a=-$\frac{8}{25}$，
∴二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-$\frac{8}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²+2；
（2）∵拋物線的解析式為y=-$\frac{8}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²+2，
∴a=-$\frac{8}{25}$＜0，
∴開口向下，
∴當(dāng)x＜-2，或x＞3時，y＜0；
（3）∵拋物線的解析式為y=-$\frac{8}{25}$（x-$\frac{1}{2}$）²+2，
∴對稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，開口向下，
∴當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，y隨x增大的減�。�

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸是解決此題的關(guān)鍵．