Question

5．正方形ABCD，AB=4，E是CD中點(diǎn)，BF=3CF，點(diǎn)M，N為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，MN=$\sqrt{2}$，求四邊形EMNF周長的最小值$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)G，則點(diǎn)G在AD上，連接GM，過G作BD的平行線，截取GH=MN=$\sqrt{2}$，連接HN，則四邊形GHNM是平行四邊形，進(jìn)而得出HN=GM=EM，
過H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，則∠HPG=∠HQF=90°，PQ=AB=4，當(dāng)點(diǎn)H、N、F在同一直線上時(shí)，HN+NF=HF（最短），此時(shí)ME+NF最短，最后根據(jù)勾股定理求得HF和EF的長，即可得到四邊形EMNF周長的最小值．

解答 解：作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)G，則點(diǎn)G在AD上，
連接GM，過G作BD的平行線，截取GH=MN=$\sqrt{2}$，連接HN，則四邊形GHNM是平行四邊形，
∴HN=GM=EM，
過H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，則∠HPG=∠HQF=90°，PQ=AB=4，
∵∠PGH=∠ADB=45°，
∴HP=PG=$\frac{HG}{\sqrt{2}}$=1，HQ=4-1=3，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得DG=ED=2，
∴AP=4-2-1=1，
∴BQ=1，
又∵BF=3CF，BC=4，
∴CF=1，
∴QF=4-1-1=2，
∵當(dāng)點(diǎn)H、N、F在同一直線上時(shí)，HN+NF=HF（最短），
此時(shí)ME+NF最短，
∴Rt△HQF中，F(xiàn)H=$\sqrt{H{Q}^{2}+F{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即ME+NF最短為$\sqrt{13}$，
又∵Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴ME+NF+MN+EF=$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
∴四邊形EMNF周長的最小值為$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形和直角三角形，依據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行求解．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．