Question

4．C為線段AB上一點(diǎn)，在線段AB的同側(cè)分別作等邊三角形△ACD、△BCE，連接AE，BD相交于F，連接CF，若S_△DEF=12$\sqrt{3}$，則CF=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，作EH⊥BD于H．首先證明∠DFA=∠AFC=∠CFB=60°，再證明△DFC∽△CFE，推出$\frac{DF}{CF}$=$\frac{CF}{EF}$，推出CF²=DF•EF，由S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DF•EF•sin60°=12$\sqrt{3}$，推出DF•EF=48，可得CF²=48，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作EH⊥BD于H．

∵△ADC，△EBC都是等邊三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，∵∠AOC=∠DOF，
∴∠DFO=∠OCA=60°，
∴△DOF∽△AOC，
∴$\frac{DO}{AO}$=$\frac{OF}{OC}$，
∴$\frac{DO}{OF}$=$\frac{AO}{OC}$，
∵∠AOD=∠FOC，
△DOA∽△FOC，
∴∠ADO=∠OFC=60°，∠1=∠2，
∴∠CFB=60°，
∴∠DFC=∠EFC=120°，
∵∠ECB=∠DAC=60°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴△DFC∽△CFE，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{CF}{EF}$，
∴CF²=DF•EF，
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DF•EF•sin60°=12$\sqrt{3}$，
∴DF•EF=48，
∴CF²=48，
∵CF＞0，
∴CF=4$\sqrt{3}$．
故答案為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．