Question

9．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，-3），點P（m，n）是拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{3}{2}$上的一個動點．過動點P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA．
（1）請通過測量或計算，比較PA與PB的大小關(guān)系：PA=PB（直接填寫“＞”“＜”或“=”，不需解題過程）；
（2）點C的坐標為（2，-5），連接PC，AC，請利用（1）的結(jié)論解決下列問題：
①△APC的周長是否存在最小值？若存在，求點P的坐標及△APC的周長的最小值；如果不存在，簡單說明理由；
②當(dāng)△APC的面積等于$\frac{3}{2}$時，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）利用兩點間的距離公式證明即可；
（2）①先確定出點P在過點C垂直于x軸和拋物線的交點，利用（1）的結(jié)論求出即可
②先用三角形的面積求出過P的直線解析式，從而求出點P坐標，利用（1）的結(jié)論求出即可

解答 解：（1）∵點P（m，n），PB⊥x軸，垂足為B，
∴PB=|n|=-n，
∵點P（m，n）是拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{3}{2}$上的一個動點，
∴n=-$\frac{1}{6}$m²-$\frac{3}{2}$，
∴m²=-6n-9，
∵A（0，-3），P（m，n）
∴PA=$\sqrt{{m}^{2}+（n+3）^{2}}$=$\sqrt{-6n-9+{n}^{2}+6n+9}$=$\sqrt{{n}^{2}}$=|n|=-n，
∴PA=PB，
故答案為：=
（2）①存在，
如圖，作CD⊥x軸，

∵A（0，-3），C（2，-5），
∴AC=2$\sqrt{2}$，CD=5，
∴△APC的周長=AC+PC+PA=2$\sqrt{2}$+PC+PA
∵△APC的周長最小，
∴PC+PA最小，
由（1）有，點P到x軸的距離等于點P到點A的距離，
∴點P在CD上，
∴PC+PA=CD=5，
∴△APC的周長最小值為2$\sqrt{2}$+5，
∵點P在CD上，
∴m=2，
∴n=-$\frac{1}{6}$m²-$\frac{3}{2}$=-$\frac{13}{6}$，
∴P（2，-$\frac{13}{6}$），
②如圖，

過點C作CE⊥y軸，
∴CE=2，
∵A（0，-3），E（0，-5），
∴AE=2，
∴∠CAE=45°
將AC平移向上平移，交y軸于F，
過點F作FD⊥AC于D，
∴∠DAF=45°，
在Rt△ADF中，sin∠DAF=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{2}$DF，
∵AC=2$\sqrt{2}$，△APC的面積等于$\frac{3}{2}$，
∴點P到直線AC的距離h=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴AF=$\sqrt{2}$h=$\frac{3}{2}$，
∵A（0，-3），C（2，-5），
∴直線AC解析式為y=-x-3，
∴過點P平行于AC的直線l解析式為y=-x-3-$\frac{3}{2}$①或y=-x-3+$\frac{3}{2}$②
∵拋物線解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{3}{2}$③，
聯(lián)立①③，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=3+3\sqrt{3}}\\{y=-（\frac{15}{2}-3\sqrt{3}）}\end{array}\right.$或  $\left\{\begin{array}{l}{x=3-3\sqrt{3}}\\{y=\frac{15}{2}+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x=3-3\sqrt{3}}\\{y=-（\frac{15}{2}+3\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，
由（1）結(jié)論，得，PA=-y=$\frac{15}{2}$-3$\sqrt{3}$或$\frac{15}{2}$+3$\sqrt{3}$，
聯(lián)立②③，解方程組得y=-$\frac{3}{2}$或y=-$\frac{15}{2}$，
∴PA=$\frac{3}{2}$或$\frac{15}{2}$；
即：PA的長為$\frac{15}{2}$-3$\sqrt{3}$或$\frac{15}{2}$+3$\sqrt{3}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{15}{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了兩點間的距離公式，圖象的交點坐標的確定方法，面積的計算，解本題的關(guān)鍵是會用（1）的結(jié)論解決問題．