Question

18．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，BD是對角線．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，請證明四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定與性質(zhì)得出四邊形DEBF為平行四邊形，進而得出BF=$\frac{1}{2}$DC=DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）證明：∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，BE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
∴△DBC為直角三角形，
又∵F為邊DC的中點，
∴BF=$\frac{1}{2}$DC=DF，
又∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形．

點評 本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、直角三角形斜邊中線性質(zhì)等知識，正確得出四邊形DEBF為平行四邊形是解題關鍵，屬于中考�？碱}型．